मिलिंद भांडारकर

संगणक क्षेत्रात काम करणारा/री प्रत्येक व्यक्ती आता मुक्तस्त्रोत आज्ञावलींशी परिचित असायलाच हवा/वी. विश्वजालाचा साधारण वाचक जरी ह्या नामाभिधानाविषयी अनभिज्ञ असला तरी, ह्या अभूतपूर्व सुविधेसाठी मुक्तस्त्रोत प्रणालींना त्याने/तिने श्रेय द्यायलाच हवे.

असे मुक्तस्त्रोत प्रकल्प चालवणारे लोक असतात तरी कोण ? माझ्या-तुमच्यासारखेच लोक. आर्थिक बाबी प्रगतीच्या आड येऊ नयेत असे मनापासून वाटणारे लोक. जगात सकारात्मक बदल घडवून आणावा, असे वाटणारे लोक फक्त आर्थिकदृष्ट्या विवंचित राहू नयेत, असा विचार करणारे लोक.

(मी नुकत्याच सुरू केलेल्या exmanogati ह्या याहू गटाचे सदस्य आता माझ्या विचारधारेशी परिचित झालेले आहेत, त्यांना कळलेच असेल, की मी लवकरच सुरू करीत असलेल्या दोन मुक्तस्त्रोत प्रकल्पांची ही प्रस्तावना आहे.)

विश्वजालाच्या पहिल्या आवृत्तीत ज्या चुका झाल्या त्या दुरुस्त करण्यासाठी दुसऱ्या आवृत्तीत समुदायांवर भर देण्यात आला आहे. समुदाय म्हणजे कम्युनिटी. विश्वजालाच्या ह्या नवीन आवृत्तीत महाजालाच्या मूळ उद्देशांकडे पुन्हा एकदा लक्ष केंद्रित करण्यात आले आहे. मायस्पेस, अनुदिन्या, फ्लिकर ह्या सगळ्या यशस्वी संकेतस्थळांचे उद्देश्य एकच. समुदायवर्धन.

परंतु ह्या नवीन आवृत्तीच्याही आधी मुक्तस्त्रोत आज्ञावलींवर काम करणाऱ्या आम्ही लोकांनी समुदायवर्धनाच्या तत्वांविषयी खूप विचार केलाय. समुदाय कसा सुरू करावा, कसा वाढवावा, ह्या कामात येणारे अडथळे कसे उल्लंघावे, हे सगळे प्रत्यक्ष अनुभवातून आम्ही शिकलोय.

ह्याचेच एक उत्कृष्ट उदाहरण म्हणजे, सबव्हर्शन ह्या मुक्तस्त्रोत आज्ञावलीच्या निर्मात्यांनी नुकतेच गूगलमध्ये दिलेले भाषण. ह्या भाषणाचा मूळ विषय हा देखील खूप महत्वाचा आहे. प्रत्येक मुक्त समुदायात काही विषारी लोक येतात. ते कसे ओळखावे, आपला समुदाय अशा विषारी लोकांपासून कसा वाचवावा, ह्याविषयी हे भाषण आहे.

माझ्या स्वत:च्या अनुभवातून सांगतो. असे (म्हणजे भाषणात वर्णन केलेले) अनुभव वारंवार येतात. अगदी एका संकल्पनेभोवती घट्ट बांधलेल्या समुदायात देखील.

आम्ही नवीन मराठी समुदाय निर्माण करण्यात गुंतलोय. त्या समुदायाला अशा विषारी लोकांपासून वाचवण्यासाठी आम्ही तंत्रज्ञानातून खंदक बांधणार आहोत. असा खंदक तंत्रज्ञानातूनच बांधणे आवश्यक आहे. सामाजिक बांधिलकी आणि असे खंदक परस्पर विरुद्ध आहेत. उदाहरणार्थ, शिवराळ भाषा. अशी भाषा समुदायाच्या बहुतेक सदस्यांना समुदायातून बाहेर पडण्याविषयी प्रवृत्त करते. आमच्या काही नावडत्या संकेतस्थळांनी त्यासाठी संपादनाचा मार्ग अवलंबलेला आहे. परंतु अशा मार्गांनी काहीही साध्य होत नाही, हे आमच्या लक्षात आले आहे. ह्या संकेतस्थळांनी तेथे इंग्रजी संदेश येऊ नयेत, ह्यासाठी तंत्रज्ञानामार्फत ९०% देवनागरीची अट घातली. अशा संकेतस्थळाच्या भविष्यवेत्त्या (व्हिजनरी) चालकांना शिवराळ भाषा टाळण्याचा इतका सोपा उपाय कळलेला नाही ह्याचे नवल वाटते (मी अनेक माध्यमातून हा सोपा उपाय त्यांच्या डोक्यात शिरवण्याचा प्रयत्न केला होता हे आवर्जून सांगावेसे वाटते). असो. अशा संकेतस्थळांच्या चालकांमुळे आम्हाला उत्कृष्ट समविचारी सदस्य मिळालेत. हेही नसे थोडके.

आधीच्या संकेतस्थळांच्या चुकांतून शिकणे हे आपले कर्तव्यच आहे, नाही का?

ह्या लेखाच्या पूर्वार्धात आपण दोन प्रमेयांच्या मला आवडलेल्या सिद्धता वाचल्या. ह्या दोन्ही सिद्धता क्रमविरुद्ध पद्धती वापरून घडवल्या होत्या. मंडळी, वरवर सोप्या वाटणाऱ्या अशा प्रकारच्या सिद्धतांना बराच काळ गणितात स्थान द्यावे की नाही, ह्याबद्दल गणितज्ञांत मतभेद होते ! कारण गणिताच्या सुरुवातीच्या काळात, निर्माणप्रधान सिद्धतांना महत्त्व होते.

मुळात गणिताला लोकप्रिय करण्यात आपल्या संस्कृतीत ग्रह, तारे, नक्षत्रे कारणीभूत ठरले. याचे कारण शेतीसाठी आवश्यक असणारा पाऊस. याचे आगमन कधी होणार, हे कळण्यासाठी कालगणनेचे महत्त्व होते. आणि कालगणनेसाठी आकाशातल्या ग्रहगोलांचे महत्त्व होते. ह्याचे गणित म्हणजे भूमिती आणि त्रिकोणमिती (ट्रिगॉनॉमेट्री). अशा प्रकारच्या गणितात, निर्माणाला, आराखड्यांना महत्त्व. त्यावेळच्या गणितातील सिद्धता म्हणजे, फक्त एक सरळ काठी, आणि एक दोरी वापरून वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाइतकेच क्षेत्रफळ असलेला चौरस काढता येतो, हे सिद्ध करा, अशा.

ग्रीक तत्त्वज्ञानी तेव्हा तर्क ह्या विषयावर विचार करीत होते. सर्व मानव मर्त्य आहेत, सॉक्रेटिस हा मानव आहे, याचा अर्थ सॉक्रेटिस मर्त्य आहे. हा विचार आता आपल्याला अगदी क्षुल्लक वाटतो, पण अशा विचारातून गणितातील सिद्धतांचा पाया रचला गेला.

ऍरिस्टॉटलने विरोधाभासजनक सिद्धतेचा विचार पहिल्यांदा मांडला असे म्हणण्यात येते. तो विचार तर्कशास्त्र्यांनी स्वीकार करायला खूप वेळ लावला. ती पद्धती गणितातील सिद्धतांची पद्धती म्हणून स्वीकृत होण्यासाठी, तर्कशास्त्र्यांनी दोन गृहीतके ठरवली, आणि त्या पद्धतीला तर्कशास्त्रीय आधार मिळाला. ही दोन गृहीतके म्हणजे:

१. कुठलेही विधान सत्य किंवा असत्य ह्यापैकी एकतरी असतेच (लॉ ऑफ एक्स्क्लूडेड मिडल, ह्याला आपण ‘बाप-श्राद्ध नियम’ म्हणू. बाप दाखव नाही तर श्राद्ध कर ह्या म्हणीवरून हे नाव घेतले आहे.).

२. कुठलेही विधान सत्य आणि असत्य दोन्हीही असू शकत नाही (लॉ ऑफ नॉन-कॉन्ट्रॅडिक्शन, त्याला आपण ‘ग्वाडा-चतुर नियम’ म्हणू. - एकपे रैना, एकतो ग्वाडा बोलना, नई तो चतुर बोलना, ये क्या रे ग्वाडा-चतुर? ह्या अजरामर ओळींवरून ह्या नियमाचे नाव घेतले आहे.).

ही दोन गृहीतके एकदा मानली, तर विरोधाभासजनक सिद्धता ह्या ‘तर्कशास्त्रीय’ दृष्टीकोनातून संमत होते.

असो, तर आता तिसऱ्या प्रमेयाची सिद्धता पाहू या.

३. संगणकात अशी कुठलीही आज्ञावली बनवणे शक्य नाही, की जी आज्ञावली कुठल्याही आज्ञावलीच्या वर्तणुकीविषयी अचूक निदान करू शकेल.

१९३६ मध्ये ऍलन ट्युरिंग ह्या ब्रिटिश गणितीने हे प्रमेय मांडले, त्याची ही सिद्धता. पण एक मिनिट ! रीवाईंड ! एनियाक हा पहिला संगणक तर १९४६ साली बनवला गेला ! मग त्याच्या आधीच संगणकाने काय करता येते आणि काय नाही, ह्या वर लेख प्रकाशित झाले होते ? मंडळी, ही आपल्या गणिताची पुण्याई ! (मनोगतावरील एका विशिष्ट लोकप्रिय शैलीचा प्रस्तुत लेखकावरचा प्रभाव तो नाकारत नाहीये

अर्थातच ऍलन ट्यूरिंगने संगणक (कॉम्प्यूटर) किंवा आज्ञावली (प्रोग्राम) हे शब्द त्या शोधनिबंधात वापरले नव्हते. ते शब्द नंतर आले. त्याच्या मूळ शोधनिबंधाचे शीर्षक होते ‘गणनीय संख्यांविषयी’ (ऑन कॉम्प्युटेबल नंबर्स). या शोधनिबंधात, त्याने संख्यांचे कुठले क्रम गणनीय आहेत आणि कुठले नाहीत, ह्याविषयी लिहिले होते. पण हे क्रम गणनीय आहेत की नाही, हे कसे ठरवायचे? ह्यासाठी त्याने ‘ट्युरिंग यंत्र (मशीन)’ ही संकल्पना मांडली.

हे ट्युरिंग यंत्र म्हणजे काय ते आपण समजवून घेऊ. ह्या यंत्राला वाचायला किंवा लिहायला एक मोठी फीत दिलेली आहे. (सिनेमाची ३५मिमीची फीत पाहिली आहे का आपण ? अगदी तशीच, पण त्यावर प्रत्येक चौकटीत काय लिहिले आहे, हे ह्या यंत्राला वाचता येते, आणि त्यावर लिहिताही येते.) ह्या यंत्राला स्वत:चा एक रंग असतो. सध्या त्याचा कुठला रंग आहे, आणि ह्या फीतीवरच्या सध्याच्या चौकटीत काय लिहिले आहे, त्यानुसार ते यंत्र स्वत:चा रंग बदलू शकते, सध्याच्या चौकटीत काहीतरी लिहू शकते, आणि फीतीला पुढच्या किंवा मागच्या चौकटीत सरकवू शकते. (उदा. सध्या लाल रंग असेल, आणि चौकटीत १ लिहिले असेल, तर त्याचा रंग निळा होतो, सध्याच्या चौकटीत ० लिहितो, आणि पुढच्या चौकटीत जातो.) ह्या रंग बदलण्याच्या, लिहिण्याच्या, आणि पुढे मागे जाण्याच्या सूचनांचा संच म्हणजे आपल्या संगणकाची आज्ञावली.

अशा साध्या सोप्या यंत्राने, जगातील सगळ्या गणनीय संख्यांचे क्रम निर्माण करता येतात, असा सिद्धांत ट्युरिंग ने मांडला. त्याच्या एकच महिना आधी, म्हणजे एप्रिल १९३६ ला ऍलॉन्झो चर्च नावाच्या गणितज्ञाने दुसऱ्या पद्धतीने (लॅम्ब्डा कॅल्क्युलस वापरून) असाच एक सिद्धांत मांडला. हे दोन्ही सिद्धांत परस्परपूरक आहेत, असे मत स्टीफन क्लीन नावाच्या गणितज्ञाने १९४३ साली मांडले, आणि त्याला नाव दिले चर्च-ट्यूरिंग सिद्धांत (थेसिस). त्यानंतर गणितज्ञांनी ट्यूरिंग यंत्राला अधिक समृद्ध बनवले ते ‘सार्वत्रिक ट्यूरिंग यंत्राची’ संकल्पना बनवून. हे सार्वत्रिक यंत्र एखाद्या ट्यूरिंग यंत्राची आज्ञावली आणि त्याला दिलेले इनपुट दोन्ही त्या फीतीवरून वाचते, आणि त्या सूचनांची अंमलबजावणी करते.

हे सार्वत्रिक ट्यूरिंग यंत्र आणि आताचा आपल्याला परिचित असणारा संगणक ह्याच्यात आपल्याला खूप साम्य आढळेल. हा योगायोग नाही, मंडली, ही आमच्या ट्यूरिंग अण्णांची आणि चर्च बाबूजींची पुण्याई ! आजच्या संगणकाची आज्ञावली ० आणि १ ह्या अंकांतून बनलेली असते, आणि इनपुट देखील तसेच. (म्हणजे आज्ञावली देखील एक मोठ्ठी नैसर्गिक संख्याच आहेत, आणि इनपुट देखील) आणि संगणकाला ह्या दोन्ही गोष्टी मिळतात, तेव्हा तो त्या आज्ञावलीतील सूचनांची अंमलबजावणी करतो, दिलेले इनपुट चघळत.

असो, हा झाला थोडा इतिहास. आता आपण आपल्या मूळ प्रमेयाकडे वळूया.

ह्यासाठी आपण आज्ञावलींचा एक उपसंच निवडूया. ह्या संचातल्या आज्ञावली एकच अंक इनपुट म्हणून घेतात, आणि तो अंक चघळून एकतर थांबतात, किंवा अनंत काळपर्यंत सतत व्यस्तच राहतात.

आज्ञायकांना ‘सतत व्यस्त राहणे’ वरून ‘इन्फिनीट लूप’ आठवले असेल. ही आज्ञावली बघा. हिला ‘अ’ ही संख्या इनपुट म्हणून दिली आहे.:

जोवर अ ची किंमत २ आहे तोवर खालील कृती करा:
अ = (अ + अ) / अ

आता ह्या सोप्या आज्ञावलीत २ ही संख्या अ म्हणून इनपुट दिली, तर अ ची किंमत नेहमीच २ राहणार, खरे ना ? म्हणजे ही आज्ञावली सतत व्यस्त राहील.

वरील प्रमेयाचे म्हणणे आहे, की अशी कुठलीही आज्ञावली बनवणे शक्य नाही, की जी दुसऱ्या एखाद्या आज्ञावलीला कुठले तरी इनपुट दिले असता, अचूकपणे सांगू शकेल, की दुसरी आज्ञावली हे इनपुट चघळून थांबणार की सतत व्यस्त राहणार.

चला, तर मग. आपली विरोधाभासजनक पद्धती वापरूया. म्हणजे काय खरे समजायचे ? आठवते आहे तर तुम्हाला.

समजा, अशी आज्ञावली बनवणे शक्य आहे. तिला आपण ‘देव’ म्हणूया. ह्या ‘देव’ आज्ञावलीला दोन इनपुट्स आहेत. ‘मानव’ नावाची एक आज्ञावली, आणि ‘खाद्य’ नावाचे दुसरे इनपुट. आणि ‘देव’ ही आज्ञावली अचूक सांगते की कुठलीही ‘मानव’ ही आज्ञावली कुठलेही ‘खाद्य’ इनपुट दिल्यावर थांबते (’देव’ सांगते थां), की सतत व्यस्त राहते (देव सांगते ‘व्य’). त्याला गणिती भाषेत लिहू या:

देव(मानव, खाद्य) = थां/व्य (मानव आणि खाद्य ह्यांच्या ठिकाणि कुठल्याही दोन संख्या टाका)

आता अशी आज्ञावली आहे असे गृहीत धरून आपण ‘राक्षस’ नावाची दुसरी आज्ञावली सहज बनवू. ही आज्ञावली फक्त एक इन्पुट घेईल, मानव असे:

राक्षस(मानव):
‘मानव’च्या दोन प्रती करा.
‘देव’ ह्या आज्ञावलीला ह्यातील एक प्रत आज्ञावली म्हणून, तर दुसरी खाद्य म्हणून द्या.
समजा देव(मानव, मानव) चे उत्तर ‘थांबते’ असे असेल, तर सतत व्यस्त रहा.

आता ह्या ‘राक्षस’ आज्ञावलीला इनपुट म्हणून ‘राक्षस’ च द्या आणि बघा काय होते ते.म्हणजे ‘राक्षस’ ही आज्ञावली ह्या इनपुटवर थांबते की सतत व्यस्त राहते ?

समजा राक्षस(राक्षस) थांबली, तर याचा अर्थ देव(राक्षस,राक्षस) चे उत्तर व्यस्त असे आले. पण देव(राक्षस,राक्षस) चे उत्तर व्यस्त कधी असेल ? समजा राक्षस ही आज्ञावली राक्षस ह्या इनपुटवर सतत व्यस्त राहत असेल तर. हा एक विरोधाभास.

समजा राक्षस(राक्षस) व्यस्त राहिली, तर याचा अर्थ देव(राक्षस,राक्षस) चे उत्तर ‘थांबते’ असे आले. हा दुसरा विरोधाभास.

याचाच अर्थ की ‘राक्षस’ ही आज्ञावली बनवणे शक्य नाही. याचाच अर्थ ‘देव’ ही आज्ञावली बनवणे शक्य नाही.

ही माझी तिसरी आवडती सिद्धता. आधीच्या दोन सिद्धता शाळेत असताना वाचल्या होत्या. ही तिसरी कॉलेजात असताना. पण ह्या तीनही सिद्धता वाचताना अंगावर सारखेच रोमांच उभे राहिले होते, हे आजही आठवते. अण्णांचा यमनकल्याण जसा अंगावर रोमांच उभा करतो तसेच.

[आधीच्या सिद्धतांसारखीच ही सिद्धतादेखील इंग्रजी विकीपीडियात Halting Problem ह्या सदरात सापडू शकेल.]

मीराताई फाटकांच्या अनंताच्या लीलामृताच्या लेखांत त्यांनी कॅन्टरच्या कर्ण पद्धतीबद्दल (Diagonalization Method) सांगितले आहे. ही सिद्धता पद्धती क्रमविरुद्ध सिद्धतेचा (Reductio Ad Absurdum) एक प्रकार आहे. आपण त्याला विरोधाभासजनक सिद्धता (Proof by Contradiction) देखील म्हणतो.

या सिद्धता पद्धतीबद्दल थोडक्यात सांगायचे झाले, तर आपल्याला जे विधान सिद्ध करायचे आहे, त्याच्या विरुद्ध विधान गृहित धरायचे. आणि त्यापासून तर्काच्या सहाय्याने, आणि इतर खऱ्या मानलेल्या गृहीतकांच्या आधारे, विरोधाभास निर्माण होतो असे दाखवायचे. याचा अर्थ मूळ विधानाच्या उलटे विधान चूक आहे, म्हणजे मूळ विधान बरोबर आहे हे सिद्ध होते.

खालील उदाहरणांवरुन ह्या पद्धतीचा वापर स्पष्ट होईल.

कँटरची नैसर्गिक संख्या आणि वास्तव संख्यांच्या संचांची गणसंख्या वेगवेगळे अनंत आहेत हे सिद्ध करणारी कर्ण सिद्धता मी पहिल्यांदाच मीराताईंच्या लेखात वाचली. मला ती खूप आवडली. समोरच्या एका दगडातून मूर्तीकाराने फक्त एक छन्नी आणि हातोड्यातून आपल्या डोळ्यासमोर सुंदर मूर्ती घडवावी, असे ती सिद्धता वाचताना वाटले. त्यावरून विचार केला, की आपण आजवर इतक्या सिद्धता वाचल्या, त्यात अशा उचंबळून आणणाऱ्या सिद्धता कोणत्या ?

थोडा विचार करता जाणवले, की मला सर्वोत्कृष्ट वाटणाऱ्या तीनही सिद्धता ह्या विरोधाभासजनक सिद्धता आहेत. कोणत्या ते सांगतो.

१. मूळ संख्यांचा (Prime Numbers) संच हा अनंत संच आहे.
२. (दोनचे वर्गमूळ) ही अपरिमेय संख्या (Irrational Number) आहे.
३. संगणकात अशी कुठलीही आज्ञावली बनवणे शक्य नाही, की जी आज्ञावली कुठल्याही आज्ञावलीच्या वर्तणुकीविषयी अचूक निदान करू शकेल.

वरीलपैकी तिसऱ्या समस्येला हाल्टिंग प्रॉब्लेम अशी संज्ञा आहेत. ह्या समस्येचे खूप दूरव्यापी परिणाम आहेत. (हल्लीच मॅट्रिक्स ह्या चित्रपटाचे रसग्रहण मनोगतावर होतेय. त्या पूर्ण संकल्पनेला खोडून काढणारे हे प्रमेय आहे.) असो, त्याविषयी उत्तरार्धात बोलू.

तर पहिल्या सिद्धतेकडे वळू.

१. मूळ संख्यांचा (Prime Numbers) संच हा अनंत संच आहे.

हे आपल्याला सिद्ध करायचे आहे. विरोधाभासजनक सिद्धतेचा अवलंब केल्यास, पहिली पायरी म्हणजे त्याच्या विरुद्ध विधान खरे समजायचे.

म्हणजे,

समजा मूळ संख्यांचा संच हा अनंत संच नाही, म्हणजेच सांत संच आहे.
याचा अर्थ असा की एक अशी मूळ संख्या आहे की जी त्या संचातली सर्वात मोठी संख्या आहे. ह्या संख्येला आपण ‘मn’ म्हणू. आपण खरे मानलेल्या विधानानुसार ‘मn’ पेक्षा मोठी मूळ संख्या अस्तित्वात नाही.
आता आपण एक अशी संख्या तयार करूया, की जी मूळ संख्यांच्या संचातील सर्व संख्यांचा गुणाकारापेक्षा १ ने जास्त असेल.

म्हणजे हा संच {म0, म1, म2, म3, म4, म5, …, मn} असेल, तर आपली नवीन संख्या ‘प’ ही

प = म0* म1 * म2 * म3 *म4 * म5 … * मn + १

अशी असेल.

आता प विषयी विचार करा. प ही मूळ संख्या आहे का ? म0 ते मn ह्या कुठल्याही संख्येने तिला पूर्ण भागता येत नाही. कारण नेहमी १ उरतोच. म्हणजेच प ही मूळ संख्या आहे. दुसरे म्हणजे प ही मn पेक्षा मोठी आहे, हे स्पष्ट आहे.

आपण सुरुवात केली होती ‘मn पेक्षा मोठी मूळ संख्या अस्तित्वात नाही’ ह्या विधानाने, आणि त्यावरून प ही मn पेक्षा मोठी संख्या अस्तित्वात आहे हे सिद्ध झाले. म्हणजे हा विरोधाभास निर्माण झाला. याचाच अर्थ हे विधान चुकीचे असले पाहिजे. म्हणजे सर्वात मोठी मूळ संख्या असणे शक्य नाही, याचाच अर्थ मूळ संख्यांचा संच हा अनंत संच आहे.

आता दुसरी सिद्धता:

२. (दोनचे वर्गमूळ) ही अपरिमेय संख्या (Irrational Number) आहे.

अपरिमेय संख्या म्हणजे जी संख्या अ/ब (अ आणि ब ह्या दोन्ही नैसर्गिक संख्या) अशी मांडता येत नाही. याच्या उलट म्हणजे परिमेय संख्या, ज्या अशा नैसर्गिक संख्यांचा भागाकाराने मांडता येतात. (उदा. दोन तृतियांश).

विरोधाभास पद्धतीने ही सिद्धता किती मनमोहक होते, बघा.

जे सिद्ध करायचे आहे, त्याच्या उलटे विधान गृहित धरायचे. म्हणजे, (दोनचे वर्गमूळ) ही परिमेय संख्या (Rational number) आहे.

याचाच अर्थ ही संख्या अ/ब अशी लिहिता येईल (अ, आणि ब ह्या दोन्ही नैसर्गिक संख्या आहेत.) आणि अ आणि ब ह्या संख्याना साधारण विभाजक नाही. (म्हणजे अ आणि ब चा महत्तम साधारण विभाजक हा १ आहे.)

= अ/ब

आता दोन्ही बाजूंचा वर्ग करू, म्हणजे

२ = अ2/ब2
अ2 = २ * ब2

अ2 ही सम संख्या असली पाहिजे, कारण २*ब2 ही सम संख्या आहे. म्हणजेच अ देखील सम संख्या असली पाहिजे, कारण फक्त सम संख्यांचेच वर्ग सम असतात. अ ही संख्या सम असल्याने ती आपण २*क अशी लिहू शकतो आणि क ही देखील नैसर्गिक संख्या आहे. आता वरील समीकरणात अ च्या ऐवजी २*क टाकूया.

४*क2 = २*ब2
म्हणजेच
२*क2 = ब2

म्हणजेच ब देखील सम संख्या आहे. आता, अ आणि ब दोन्ही संख्या सम असतील, तर त्यांचा महत्तम साधारण विभाजक २ असेल, आपण गृहीत धरल्याप्रमाणे १ नाही.

हा विरोधाभास निर्माण झाला, त्यामुळे आपण गृहीत धरलेले म्हणजे ‘’ (दोनचे वर्गमूळ) ही परिमेय संख्या (Rational number) आहे” हे विधान चुकीचे आहे. त्यामुळे ‘’ (दोनचे वर्गमूळ) ही अपरिमेय संख्या (Irrational number) आहे” हे सिद्ध झाले.

(उत्तरार्धात तिसऱ्या क्रमांकाची सिद्धता देणार आहे. त्यासाठी थियरेटिकल संगणक विज्ञानातील संगणकाच्या संकल्पनेविषयी लिहावे लागेल, म्हणून पूर्ण लेखच त्यासाठी राखून ठेवला आहे.)

[वरील दोन सिद्धता मी शाळेत असताना गणिताच्या पुस्तकात वाचलेल्या आहेत. महाजालावर अनेक ठिकाणी, विशेषतः इंग्रजी विकीपीडियामध्ये त्या सहज सापडतील.]

आल्टाव्हिस्टा ह्या डेकच्या उपसंस्थेने आधुनिक शोधयंत्राचा पाया रचून देखील डेकमधल्या तंत्रज्ञान व्यवस्थापकांच्या अदूरदृष्टीमुळे त्यांचा कसा ऱ्हास झाला हे आपण गेल्या वेळी बघितले.

(more…)

आपण ह्या आधीच्या तीन भागांत शोधयंत्राच्या तीन मुख्य भागांचा, म्हणजे संचारक, सूचिकार आणि दर्शनीभागाचा परिचय करून घेतला. आल्टाव्हिस्टा, ह्या डिजिटल इक्विपमेंट कॉर्पोरेशन मधून (डेकमधून) तयार झालेल्या शोधयंत्राने आधुनिक शोधयंत्राचा पाया कसा रचला ते बघण्यासाठी. त्याही आधीच्या भागात मी लिहिले होते, की “आल्टाव्हिस्टे रचिला पाया, गूगल झालासे कळस”. ह्या उक्तीचा अर्थ शोधण्याच्या मोहिमेवर आपली नियुक्ती झाली होती असे समजा हवे तर.

(more…)

या आधीच्या लेखात आपण शोधयंत्राच्या सूचिकार ह्या भागाचा परिचय करून घेतला. हा सूचिकार त्याआधीच्या भागाने, म्हणजे संचारकाने, तयार केल्या संकेतस्थळांवरील पृष्ठे, आणि त्यातील मजकूर ह्या यादीला उलटे करतो, आणि त्यातून विश्वजालावर दिसणारे शब्द कुठल्या पृष्ठांत आहेत, याची यादी तयार करतो.

(more…)

याआधीच्या भागात आपण शोधयंत्राच्या तीन मुख्य भागांपैकी, संचारक ह्या भागाचा परिचय करून घेतला. संचारकाचे थोडक्यात वर्णन म्हणजे ही आज्ञावली विश्वजाळ धुंडाळून त्यावरची सगळी पृष्ठे शोधयंत्रातील संगणकांच्या चुंबकीय तबकड्यांवर साठवून ठेवते.

(more…)

आल्टाव्हिस्टा ह्या शोधयंत्राची स्थापना डिजिटल इक्विपमेंट कॉर्पोरेशनमधील (डेकमधल्या) एका संशोधकाने सहज बोलताबोलता केलेल्या एका टिप्पणीतून झाली, हे आपण याआधीच्या लेखात बघितले.

(more…)

आपण गेल्यावेळी बघितले, की याहू!ने विश्वजाल-निर्देशिका सुरू केल्यावर हजारो संकेतस्थळांनी तिथे नोंदणी केली. संकेतस्थळचालकांनी तिचा गैरवापर सुरू केला. त्यावर उपाय म्हणून याहू!च्या संस्थापकांनी खूप लोक नियुक्त करून ती संकेतस्थळे योग्य विभागात टाकण्याची सोय केली.

(more…)

शोधयंत्रांचा इतिहास विश्वजालाशीच निगडीत असल्याने आपण थोडक्यात विश्वजालाचा इतिहास बघूया.

(more…)