मला आवडलेल्या सिद्धता - पूर्वार्ध
मीराताई फाटकांच्या अनंताच्या लीलामृताच्या लेखांत त्यांनी कॅन्टरच्या कर्ण पद्धतीबद्दल (Diagonalization Method) सांगितले आहे. ही सिद्धता पद्धती क्रमविरुद्ध सिद्धतेचा (Reductio Ad Absurdum) एक प्रकार आहे. आपण त्याला विरोधाभासजनक सिद्धता (Proof by Contradiction) देखील म्हणतो.
या सिद्धता पद्धतीबद्दल थोडक्यात सांगायचे झाले, तर आपल्याला जे विधान सिद्ध करायचे आहे, त्याच्या विरुद्ध विधान गृहित धरायचे. आणि त्यापासून तर्काच्या सहाय्याने, आणि इतर खऱ्या मानलेल्या गृहीतकांच्या आधारे, विरोधाभास निर्माण होतो असे दाखवायचे. याचा अर्थ मूळ विधानाच्या उलटे विधान चूक आहे, म्हणजे मूळ विधान बरोबर आहे हे सिद्ध होते.
खालील उदाहरणांवरुन ह्या पद्धतीचा वापर स्पष्ट होईल.
कँटरची नैसर्गिक संख्या आणि वास्तव संख्यांच्या संचांची गणसंख्या वेगवेगळे अनंत आहेत हे सिद्ध करणारी कर्ण सिद्धता मी पहिल्यांदाच मीराताईंच्या लेखात वाचली. मला ती खूप आवडली. समोरच्या एका दगडातून मूर्तीकाराने फक्त एक छन्नी आणि हातोड्यातून आपल्या डोळ्यासमोर सुंदर मूर्ती घडवावी, असे ती सिद्धता वाचताना वाटले. त्यावरून विचार केला, की आपण आजवर इतक्या सिद्धता वाचल्या, त्यात अशा उचंबळून आणणाऱ्या सिद्धता कोणत्या ?
थोडा विचार करता जाणवले, की मला सर्वोत्कृष्ट वाटणाऱ्या तीनही सिद्धता ह्या विरोधाभासजनक सिद्धता आहेत. कोणत्या ते सांगतो.
१. मूळ संख्यांचा (Prime Numbers) संच हा अनंत संच आहे.
२. (दोनचे वर्गमूळ) ही अपरिमेय संख्या (Irrational Number) आहे.
३. संगणकात अशी कुठलीही आज्ञावली बनवणे शक्य नाही, की जी आज्ञावली कुठल्याही आज्ञावलीच्या वर्तणुकीविषयी अचूक निदान करू शकेल.
वरीलपैकी तिसऱ्या समस्येला हाल्टिंग प्रॉब्लेम अशी संज्ञा आहेत. ह्या समस्येचे खूप दूरव्यापी परिणाम आहेत. (हल्लीच मॅट्रिक्स ह्या चित्रपटाचे रसग्रहण मनोगतावर होतेय. त्या पूर्ण संकल्पनेला खोडून काढणारे हे प्रमेय आहे.) असो, त्याविषयी उत्तरार्धात बोलू.
तर पहिल्या सिद्धतेकडे वळू.
१. मूळ संख्यांचा (Prime Numbers) संच हा अनंत संच आहे.
हे आपल्याला सिद्ध करायचे आहे. विरोधाभासजनक सिद्धतेचा अवलंब केल्यास, पहिली पायरी म्हणजे त्याच्या विरुद्ध विधान खरे समजायचे.
म्हणजे,
समजा मूळ संख्यांचा संच हा अनंत संच नाही, म्हणजेच सांत संच आहे.
याचा अर्थ असा की एक अशी मूळ संख्या आहे की जी त्या संचातली सर्वात मोठी संख्या आहे. ह्या संख्येला आपण ‘मn’ म्हणू. आपण खरे मानलेल्या विधानानुसार ‘मn’ पेक्षा मोठी मूळ संख्या अस्तित्वात नाही.
आता आपण एक अशी संख्या तयार करूया, की जी मूळ संख्यांच्या संचातील सर्व संख्यांचा गुणाकारापेक्षा १ ने जास्त असेल.
म्हणजे हा संच {म0, म1, म2, म3, म4, म5, …, मn} असेल, तर आपली नवीन संख्या ‘प’ ही
प = म0* म1 * म2 * म3 *म4 * म5 … * मn + १
अशी असेल.
आता प विषयी विचार करा. प ही मूळ संख्या आहे का ? म0 ते मn ह्या कुठल्याही संख्येने तिला पूर्ण भागता येत नाही. कारण नेहमी १ उरतोच. म्हणजेच प ही मूळ संख्या आहे. दुसरे म्हणजे प ही मn पेक्षा मोठी आहे, हे स्पष्ट आहे.
आपण सुरुवात केली होती ‘मn पेक्षा मोठी मूळ संख्या अस्तित्वात नाही’ ह्या विधानाने, आणि त्यावरून प ही मn पेक्षा मोठी संख्या अस्तित्वात आहे हे सिद्ध झाले. म्हणजे हा विरोधाभास निर्माण झाला. याचाच अर्थ हे विधान चुकीचे असले पाहिजे. म्हणजे सर्वात मोठी मूळ संख्या असणे शक्य नाही, याचाच अर्थ मूळ संख्यांचा संच हा अनंत संच आहे.
आता दुसरी सिद्धता:
२. (दोनचे वर्गमूळ) ही अपरिमेय संख्या (Irrational Number) आहे.
अपरिमेय संख्या म्हणजे जी संख्या अ/ब (अ आणि ब ह्या दोन्ही नैसर्गिक संख्या) अशी मांडता येत नाही. याच्या उलट म्हणजे परिमेय संख्या, ज्या अशा नैसर्गिक संख्यांचा भागाकाराने मांडता येतात. (उदा. दोन तृतियांश).
विरोधाभास पद्धतीने ही सिद्धता किती मनमोहक होते, बघा.
जे सिद्ध करायचे आहे, त्याच्या उलटे विधान गृहित धरायचे. म्हणजे, (दोनचे वर्गमूळ) ही परिमेय संख्या (Rational number) आहे.
याचाच अर्थ ही संख्या अ/ब अशी लिहिता येईल (अ, आणि ब ह्या दोन्ही नैसर्गिक संख्या आहेत.) आणि अ आणि ब ह्या संख्याना साधारण विभाजक नाही. (म्हणजे अ आणि ब चा महत्तम साधारण विभाजक हा १ आहे.)
= अ/ब
आता दोन्ही बाजूंचा वर्ग करू, म्हणजे
२ = अ2/ब2
अ2 = २ * ब2
अ2 ही सम संख्या असली पाहिजे, कारण २*ब2 ही सम संख्या आहे. म्हणजेच अ देखील सम संख्या असली पाहिजे, कारण फक्त सम संख्यांचेच वर्ग सम असतात. अ ही संख्या सम असल्याने ती आपण २*क अशी लिहू शकतो आणि क ही देखील नैसर्गिक संख्या आहे. आता वरील समीकरणात अ च्या ऐवजी २*क टाकूया.
४*क2 = २*ब2
म्हणजेच
२*क2 = ब2
म्हणजेच ब देखील सम संख्या आहे. आता, अ आणि ब दोन्ही संख्या सम असतील, तर त्यांचा महत्तम साधारण विभाजक २ असेल, आपण गृहीत धरल्याप्रमाणे १ नाही.
हा विरोधाभास निर्माण झाला, त्यामुळे आपण गृहीत धरलेले म्हणजे ‘’ (दोनचे वर्गमूळ) ही परिमेय संख्या (Rational number) आहे” हे विधान चुकीचे आहे. त्यामुळे ‘’ (दोनचे वर्गमूळ) ही अपरिमेय संख्या (Irrational number) आहे” हे सिद्ध झाले.
(उत्तरार्धात तिसऱ्या क्रमांकाची सिद्धता देणार आहे. त्यासाठी थियरेटिकल संगणक विज्ञानातील संगणकाच्या संकल्पनेविषयी लिहावे लागेल, म्हणून पूर्ण लेखच त्यासाठी राखून ठेवला आहे.)
[वरील दोन सिद्धता मी शाळेत असताना गणिताच्या पुस्तकात वाचलेल्या आहेत. महाजालावर अनेक ठिकाणी, विशेषतः इंग्रजी विकीपीडियामध्ये त्या सहज सापडतील.]